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光学测量_图文_百度文库

发布时间:2020-08-08 08:30 作者:电玩城捕鱼

  光学测量 THE OPTICAL MEASUREMENT 长春理工大学 付跃刚 绪论 一、测量的概念及方法 将被测的物理量与一定的计量单位相比较求其比值的过程, 或为确定被测对象的量值而进行的实验过程。 1.物理量 (1)基本物理量 ? 国际七种 物理量 单位 工具 精度 国际 我国 时间 秒 铯原子钟 1×10-13 1×10-12 长度 米 激光波长 1×10-9 1×10-8 质量 温度 电流 光强 千克 开(尔文) 安(培) 坎(德拉) 砝码 液态氢 标准电池 标准光源 1×10-8 1×10-3 1×10-7 3×10-3 1×10-8 1×10-3 1×10-6 3.3×10-3 物质的量 摩尔 2 国际上的七种物理量的定义 量 大陆地区 台湾单 单位 单位名称 位名称 符号 定义 长度 米 公尺 m 光在线 秒之时间间隔内 所经过的路径长。 质量 千克 以铂铱合金制成、底面直径为39毫米、高为39 公斤 kg 毫米的国际千克原器(圆柱体)的质量定义为1 千克。目前它保存在法国巴黎的国际计量局里。 时间 秒 秒 s 铯-133原子基态的一特定辐射光波震动 9,192,631,770次所需要的时间。 电流 安[培] 安培 A 电流流过自由空间中两条相距1米,其截面积可 忽略的细长直导线,若两导线间单位长度之互 作用力大小为2x10-7N,此电流为标准的1安培。 热力学 温度 开[尔文]克耳文 K 水三相点之热力学温度的 1/273.16 物质的量 摩[尔] 莫耳 mol 一系统物质的量,其系统所包含的基本单元数 和0.012 kg 碳-12的原子数目相等。 光源发出频率为540x1012Hz的单色辐射,在某 发光强度 坎[德拉]燭光 cd 给定方向上的发光强度,而此方向上每一个球 面的辐射强度为1/683(w/sr.) 3 导出物理量 ? 时间:三十万年差一秒 ? 长度:氪86同位素波长λ=605.78nm,Δλ=4.7×10-4nm,相干长 度L=λ2/Δλ=0.78m;氦氖激光器λ=632.8nm,Δλ=6×109nm,L=60km 辅助物理量:平面角rad,球面角 sr 导出物理量 ? 国际200多种,我国120种. ? 与光学测量有关的光学量导出单位: 光通量 流明 lm 1lm=1cd.sr 辐射能中能引起人眼光刺激的那部分辐通 量 光照度 勒(克斯)lx 1 lx=1 lm/m2单位面积上所接收的光通量大小 辐透(ph)1ph=1 lm/cm2。 计量单位:有明确定义和名称并命其数值为1的固定的量 量值:数值和计量单位的乘积 4 测量方法 ?例1 买布 被测物理量 长度 计量单位 米 测量工具 尺 ?例2 检查体温 被测物理量 温度 计量单位 度 测量工具 体温计 5 测量方法 按测量方式通常可分为: 直接测量——由仪器直接读出测量结果的叫做直接测量 如:用米尺测量课桌的长度,电压表测量电压等 间接测量——由直接测量结果经过公式计算才能得出结 果的叫做间接测量. 如:测量单摆的振动周期T,用公式 T ? 2? l /求g 得g 6 例:空调机测量控制室温 被测对象: 室内空气 被测物理量: 温度 测量器具: 温度传感器 --- 热电阻、热电偶 操作过程:空气 ? 热敏电阻? 电信号? 处理 ? 显示 空调机 返回 7 计量、测量、测试的区别 ?计量:准确一致的测量 国际标准——国家计量局——地区计量站—— 工厂计量室——车间检验组。 ?测试:具有实验性质的测量。 ?检测:对产品以及成型仪器的测量。 8 计量、 测量、 测试之间的关系 具有共性, 都是解决“量” 的问题, 均属于测量 领域。 测量是通过相互比较的一个实验过程, 目的是 确定其量值大小, 单位可以任意选定; 计量是通过建立基准、标准, 进行量值传递, 旨 在实现统一、 准确的测量, 目的是为了统一量值, 单位是法定的; 测试是具有试验性质的测量, 目的是通过多参 量的试验来确定其物体的特性或条件的最佳状态, 单位也可以是任选的。 9 计量、 测量、 测试之间的关系 ?计量与测量的相互关系——测量是计量的依托,没有测量就谈不到计量; 计量是使测 量结果真正具有价值的基础, 计量又促进了测量的发展。也可以说计量是测量的一种 特殊形式, 它保证测量统一和量值准确。 ?计量与测试的相互关系——计量同样是使测试结果真正具有价值的基础。因为测试 数据的准确可靠, 必须以计量技术基础予以保证。 同时, 测试一般都是通过计量手段和 应用计量科学原理进行的, 而且对象都是 “量” , 所以测试又是保证量值统一的重要 环节, 是计量联系生产实际的重要途径, 是计量领域进行探索的重要方面。 ?测量与测试的相互关系——从本质上讲, 两者是相同的, 测试的实质就是测量, 都是 为了确定其量的数值。 但测试又区别于测量, 测量是一个实验过程, 途径和方法一般都 是已经确定的, 其解决的问题是确定量值的大小; 而测试则包含着试验过程, 具有一定 的探索性, 它主要解决科研生产中的具体实际问题。 计量、 测量、 测试三者也是可以转变的。 当测量是为着实现统一, 即旨在使量值 溯源到标准、 基准时, 那这种测量就是计量; 当测试已经具有了确定的方法和途径, 那 这种测试则已转变为测量了; 当要求测试方法及量值进行统一并相应的建立了标准, 那 这种测试就已经转变为计量了。 10 光学测量 ? 定义: 对光学材料、零件及系统的参数和性能的测量 ? 特点: 理论和实践相结合,精度是主要矛盾 ? 应用理论:应用光学、物理光学、精度原理、精密机械、电 子学等 ? 实践性强,设计、工艺(加工)、测量是生产的三大过程,测 量是加工的极限 ? 学习方法 ? 复习好精度原理、应用光学、物理光学等课程 ? 理论联系实际,重视实验 ? 精度是光量的主要矛盾不但要学会测量原理和方法,更重要 的是会精度分析,找出提高精度的途径。 ? 意义 ? 科研应用、生产应用 11 光学测量包含内容 ? 辐射度 ? 光度 ? 光谱光度 ? 色度 ? 激光参数 ? 光学材料参数 ? 光学薄膜参数 ? 光学元件、光学系统参数 ? 光纤和光通信参数 ? 光电探测器参数 12 主要讲解内容 ?光学测量基础 ?光学玻璃主要光学性能测量 ?光学零部件的基本测量 ?光学系统特性参数测量 ?光学系统像质检验与评价 13 参考书 ? D. Malacara, Ed. Optical Shop Testing ? W. Smith Modern Optical Engineering ? Kingslake, Thompson, Applied Optics and Optical Engineering, Vols. 1-11 ? Shannon, and Wyant, Ed. B. K. Johnson Optics and Optical Instruments ? D. Malacara, Ed. Optical Shop Metrology, SPIE Vol. MS18 ? P. Hariharan and D. Malacara, Ed. Interference, Interferometry, and Interferometric ? Metrology, SPIE Vol. MS110 ? P. Hariharan, Ed. Selected Papers on Interferometry, SPIE Vol. MS28 ? P. Hariharan Optical Interferometry, Second Edition ? D. Malacara, M. Servin, and Interferogram Analysis for Optical Testing ? Z. Malacara D. Malacara, Ed. Selected SPIE Papers on CD-ROM, Volume 3. ? Optical Testing (568 papers) ? D. O’Shea Optical Engineering ? G. Boreman Applied Optics-Optical Technology ? 光电测试技术 范志刚主编 电子工业出版社 ? 光电测试技术 蒲邵邦 赵辉主编 机械工业出版社 ? 光学测试技术 沙定国 主编 北京理工大学出版社 ? 光学测量技术与应用 冯其波主编 清华大学出版社 ? 光学计量 郑克哲主编 原子能出版社 14 先修课 ?应用光学 ?误差理论与数据处理 ?物理光学 ?Optics 513 Optical Testing 亚利桑那研究生课 程 15 光学测量 第一章 光学测量基础 第一章 光学测量基础 第一节 测量误差与数据处理 1.真值和残差 ? 真值:被测量的真实值 ? 残差:测得值和算术平均值之间的差 2.测量误差的原因和分类 ? 原因:装置、环境、人员、方法 ? 分类:系统误差、随机误差、粗大误差 3.精度 反映测量结果与线)正确度:由系统误差引起的测得值线)精密度:由偶然误差引起的测得值线)准确度:由系统误差和偶然误差综合引起测得值和线 第一节 测量误差与数据处理 主要内容: ?基本概念——测量误差 ?误差分类——偶然误差和系统误差 ?误差计算——测量结果的不确定度 ?数据格式——有效数字 ?数据处理——用最二乘法作直线 第一节 测量误差与数据处理 测量误差 ?测量就是将待测量与选做标准单位的物理量进 行比较,得到此物理量的测量值。 ?测量值必须包括:数值和单位,如测量课桌的长 度为1.2534m。 19 第一节 测量误差与数据处理 按测量精度通常可分为: ? 等精度测量——对某一物理量进行多次重复测量,而且每次测量的 条件都相同(同一测量者,同一组仪器,同一种实验方法,温度和湿 度等环境也相同)。 ? 不等精度测量——在诸测量条件中,只要有一个发生了变化,所进 行的测量。 ? 由于测量方法、测量环境、测量仪器和测量者的局限性——误差的 不可避免性,待测物理量的真值同测量值之间总会存在某种差异, 这种差异就称为测量误差,定义为 测量误差(δ)= 测量值(X)- 真值(a) ? 测量结果也应包含测量误差的说明及其优劣的评价 Y=N±ΔN 20 第一节 测量误差与数据处理 真值就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在 的、但不可测得的(测量的不完善造成)。 可知的真值: a. 理论真值----理论设计值、理论公式表达值等 如三角形内角和180度; b. 约定(实用)真值-----指定值,最佳值等, 如阿伏加德罗常数, 算术平均值当线 第一节 测量误差与数据处理 二、偶然误差和系统误差 误差分类 按其性质和原因可分为三类: 系统误差 偶然误差(随机误差) 粗大误差 22 第一节 测量误差与数据处理 1.系统误差:在重复测量条件下对同一被测量进行无限 多次测量结果的平均值减去真值 ? x(n ? ?) ? a 来源: 标准器误差;仪器安装调整不妥,不水平、不 仪器、装置误差; 垂直、偏心、零点不准等,如天平不等臂,分 光计读数装置的偏心;附件如导线 测量环境误差; 温度、湿度、光照,电磁场等 测量理论或方法误差; 人员误差---生理或心理特点所造成的误差。 理论公式为近似 或实验条件达不 到理论公式所规 定的要求 特点:同一被测量多次测量中,保持恒定或以可预知的方 式变化(一经查明就应设法消除其影响) 23 第一节 测量误差与数据处理 分类: a. 定值系统误差-----其大小和符号恒定不变。 例如,千分尺没有零点修正,天平砝码的标称值不准确等。 b. 变值系统误差----呈现规律性变化。可能随时间,随 位置变化。例如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心 不重合,存在偏心差 发现的方法 规律性变化(一致变大变小) 一定存在着系统误差 (1)数据分析法--- 观察 ?xi ? xi ? x 随测量次序变化 (2)理论分析法--- 理论公式和仪器要求的使用条件 24 第一节 测量误差与数据处理 (3)对比法 单摆g=(9.800±0.002)m/s2; 自由落体g=(9.77±0.02)m/s2,其一存在系统误差 a. 实验方法 b. 仪器 c. 改变测量条件 如两个电表接入同一电路,对比两个表的 读数,如其一是标准表,可得另一表的修 正值。 处理: 某些物理量的方向、参数 的数值、甚至换人等 任何实验仪器、理论模型、实验条件,都不可能理想 a. 消除产生系统误差的根源(原因) b. 选择适当的测量方法 25 第一节 测量误差与数据处理 1) 交换法----如为了消除天平不等臂而产生的系统误差 2) 替代法----如用自组电桥测量电阻时 3) 抵消法----如测量杨氏模量实验中,取增重和减重时 读数的平均值; 4) 半周期法----如分光计的读数盘相对180°设置两个游 标,任一位置用两个游标读数的平均值 图中角度读数为:游标1读数: 295?+132=295?13′ 各种消减系统误差游的标方2读法数:都115具?+1有2=较115强?12′的针对性, 都分是光些计经读数验方型法示、意具图体的处理方法!! 26 第一节 测量误差与数据处理 2.偶然误差(随机误差):测量结果减去同一条件 下对被测量进行无限多次测量结果的平均值 ? xi ? x(n ? ?) 定义: 在相同的条件下,由于偶然的不确定的因素造成每 一次测量值的无规则的涨落,测量值对真值的偏离时大时 小、时正时负,这类误差称为偶然误差. 来源:仪器性能和测量者感官分辨力的统计涨落,环境条 件的微小波动,测量对象本身的不确定性(如气压小球直 径或金属丝直径…)等. 特点:个体而言是不确定的; 但其总体服从一定的统计规律。 处理:可以用统计方法估算其对测量结果的影响(标准 差),不可修正,但可减小之。(下面讲) 27 第一节 测量误差与数据处理 测量结果分布规律的估计—经验分布曲线 [ f(vi)---vi ] 测量列 xi , n容量 ? i ? xi ? a f(δi)--- δi出现的概率 δi (单位) -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 出现次数 10 20 40 20 10 f (δi) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 对大量数据处理时,往往对δ i取一个单位Δ δ(尽量小), 考虑δ i落在第一个Δδ ,第二个Δδ ,第三个Δδ --的f(δ i),--〉经验分布曲线 正态分布 均匀分布 三角分布 28 第一节 测量误差与数据处理 正态分布规律:大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布)规律 特点: 1)有界性. 2)单峰性. 3)对称性. 4)抵偿性. ? lim n?? 1 n n ?i i ?1 ? 0 f (x) ? 1 ?( x?a)2 e 2? 2 ? 2? 可以通过多次测量,利用其统计规律达到互相抵 偿随机误差,找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值 或最近线 第一节 测量误差与数据处理 3.粗大误差 :明显超出规定条件下预期的误差 来源:使用仪器的方法不正确,粗心大意读错、记错、 算错数据或实验条件突变等原因造成的(坏值)。 处理:实验测量中要尽力避免过失错误; 在数据处理中要尽量剔除坏值。 测量中的异常值决不能不加分析地统统扔掉 -----很多惊世发现都是超出预期的结果!!! 30 第一节 测量误差与数据处理 精确度:用于表述测量结果的好坏 1.精密度:表示测量结果中随机误差大小的程度。 即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时,所得结 果之间符合的程度,简称为精度。 xi ? x 2. 正确度:表示测量结果中系统误差大小的程度。 它反映了在规定条件下,测量结果中所有系统误差的综 合。 x ?a 3.准确度:表示测量结果与被测量的“真值”之间的一致 程度。 它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。又称 精确度。 xi ? a ? (xi ? x) ? (x ? a) 31 第一节 测量误差与数据处理 a)精密度低, 正确度高 (b)精密度高, 正确度低 (c)精密度、 正确度和准确度皆高 32 第一节 测量误差与数据处理 三、测量结果的不确定度 1.什么是不确定度 测量结果写成如下形式: y=N±△N (1.1) 其中y代表待测物理量,N为该物理量的测量值, △ N是一个恒正的 量,称为不确定度,代表测量值N不确定的程度,也是对测量误差 的可能取值的测度,是对待测真值可能存在的范围的估计. 不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值与真值之差,一 般情况下,由于真值未知,所以它是未知的.不确定度的大小可 以按一定的方法计算(或估计)出来. 33 第一节 测量误差与数据处理 2.测量结果的含义 ? 式 y=N±△N 的含义是: 待测物理量的真值有一定的概率落在 上述范围内,或者说,上述范围以一定的概率包含真值.这里所 说的“一定的概率”称为置信概率,而区间[N-ΔN,N+ΔN]则称 为置信区间. ? 在一定的测量条件下,置信概率与置信区间之间存在单一的对应 关系:置信区间越大,置信概率越高,置信区间越小,置信概率 越低.如果置信概率为100%,其对应的ΔN就称为极限不确定度, 用e表示,这时式(1.1)写做 Y=N±e 表示真值一定在[N- e,N+ e]中. 34 第一节 测量误差与数据处理 标准差 ? 用标准差σ来表示ΔN,这时式(1.1)写做 Y=N±σ. σ的大小标志着测量列的离散程度,置信概率为68.3%.其意义 可表示为: 待测量落在[N-σ, N+σ]范围内的可能性为68.3%. ? σ的大小是如何标志测量列的离散程度的? ? 判断粗大误差的3σ原则(奈尔、格拉布斯等) ? 要完整地表达一个物理量,应该有数值、单位和不确定度ΔN三 个要素. 35 第一节 测量误差与数据处理 相对不确定度 ? 为了比较两个以上测量结果精确度的高低,常常使用相对不确定 度这一概念,其定义为 相对不确定度=不确定度/测量值 即ΔN/N. ? 用米尺分别测量课桌长度(L=1210.5mm)和钢笔直径 (d=10.1mm),它们的测量极限不确定度均为e=1mm,比较以 上两个测量结果精确度的高低 36 3.不确定度的估计方法 (1)直接测量中不确定度的估算 (a)多次测量:在相同条件下对一物理量X进行了n次独立的 直接测量,所得n个测量值为x1,x2,…,xn,称其为测量 列,标准不确定度参数:数学期望(算术平均值)和标准 差 算术平均值 ? x ? 1 n n i ?1 xi 测量列标准不确定度(标准差) ? ? x ? 1 n n ( xi i ?1 ? a)2 ? ? x ? 1 n ?1 n i ?1 ( xi ? x)2 (实用) 任一测量结果的误差落在[-σx,σx]范围内的概率为68.3%。 37 算术平均值的标准不确定度 ? 平均值的标准差? x ? ?x n ? 1 n(n ?1) n i ?1 ( xi ? x)2 算术平均值的误差落在[ ?? x ,? x ]范围内的概率为68.3%。 ? x 随n的增大而减小,但当n大于10后,减小速度明 显降低,通常取 5≤n≤10 38 (b)单次测量结果标准不确定度的估算: ??e k e为极限不确定度(仪器的最大读数误差) k为分布系数,对于正态分布,k=3,σ=e/3; 对于均匀分布,k=√3,即σ= e/√3 ; 测量结果的表示: ?x ? ? x ?? x (单位) ???E ? ?x x (100%) 意义:真值a落在[x ?? x , x ?? x] 范围内的概率为68.3%。 39 例1 用温度计对某个不变温度等精度测量数据如表,求测量结果。 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (OC) 528 531 529 527 531 533 529 530 532 530 531 解: ? t ? 1 n n i ?1 ti =530.0909 OC =530.1??OxC ? x ? ? x (单位) ? ??E ? ?x x=0.6 (100%) OC ? ? t ? ?t n ? 1 n(n ?1) n i ?1 (ti ? t )2 =0.5301 OC E ? ?t ?100% ? 0.5301 ?100% =0.1000017% =0.11% t 530.0909 ?t ? 530.1? 0.6 (oC) ? ?E ? 0.11 (%) 40 (2)间接测量结果不确定度的估计: 设间接测量N=f(x,y,z…) 量值: N ? f (x, y, z ? ? ? ?) 标准不确定度: ?N ? ?? ? ?N ?x 2 ?? ? ? 2 x ? ???? ?N ?y ???? 2 ? 2 y ? ?? ? ?N ?z 2 ?? ? ? 2 z ?? ? 其中? x ? ?x n ? 1 n(n ?1) n i ?1 ( xi ? x)2 41 相对不确定度: E ? ?N ? N ?? ? ?N ?x ??2 ?? ?? ?x N ?2 ? ? ? ???? ?N ?y 2 ? ?? ? ???? ? 2 y N 2 ? ? ? ? ? ?? ? ?N ?z ?? ? 2 ???? ? 2 z N 2 ? ?? ? ?? 测量结果的表示 ??N ? ?? ? N ? ? N ?单位? E ? ? N ?100 % N 计算顺序: 计算公式以加减运算为主,先算标准,再算相对不确定度; 计算公式以乘除或乘方运算为主,先算相对,再算标准不确 定度 42 不确定度常用公式 函数表达式 N=x ±y N=xy或N=x/y N=kx(k为常数) N=xk (k为常数) 方和根合成方式 ?N ? ? 2 x ? ? 2 y ?N ? N ?? ? ?x x ?2 ? ? ? ???? ?y y 2 ? ?? ? σN=kσx ?N ? k ?x N x 算数合成方式 eN=ex+ey eN ? ex ? ey N xy eN=kex eN ? k ex Nx 43 例2 测某立方体钢材的长宽高为 l, b, h 如表,材料的密度p=7.86gcm-3 求其质量m。 1 2 3 4 5 平均值 l i (mm) b i (mm) h i (mm) 1483.7 471.2 23.1 1483.8 471.4 23.2 1483.9 471.3 23.3 1484.1 471.1 23.0 1484.0 471.0 23.4 1483.9 471.2 23.2 ? ? 解:m=plbh m ? pl b h E ? ? m ? m ? ? ( pb h ) 2 ??????????pml?l b????l h2l 2???????????2m??l????n(?????l2lp2ll??????h2n)???2(??n??1????????mb??pb1????bl)=2bb????i0?????nh21.?=0m?(?????????lb102i????m?25??????h70l2(h1).p??52????mbE02???lm3m)???0=22mh1?0??????3.???0m?pk2?2mlg????b1mh??hm5?h8?????12????h0220单 =%?位b 2 ?m ? E?m ?m ?127.5 ? 0.3 (kg) =0.275157kg ? 44 四有、效有效数数字字及 其 运 算位数无限多,如1/3, π等 位数有限,如0.333, 3.14159等 1.概念 数字分类:完全准确数字;有效数字。 有效数字的构成(读取):准确部分+一位非准确部分(误差 所在位)。 (I)物体长度L估读为4.27cm或4.28cm (II)右端恰好与15cm刻度线”,则物体长度L的有效数字应记为 15.00cm 估计值,一般为最小分度值的1/10的整数倍 45 有效数字位数的特点: a.位数与仪器最小分度值有关,与被测量的大小也有关; 如用最小分度值0.01mm的千分尺测量的长度读数 为 8.344mm,用最小分度值为0.02mm的游标卡尺 来测量,其读数为 8.34mm。 b.位数与小数点的位置(单位)无关; 如重力加速度9.80m/s2,0.00980km/s2 或 980cm/s2, 9.80x103mm/s2 都是三位有效数字 c.位数粗略反映测量的误差. 不要写成9800 mm/s2 位数越多,测量的相对误差就越小, 如8.344mm, 8.34mm的相对误差, 46 2 有效数字的修约 拟舍的第一位数字为5, 其后无数字或皆为0 原则:五下舍,五上入,整五凑偶。 如保留四位有效数字: 3.14159—3.142 2.71729—2.717 4.51050—4.510 保留末位为奇数, 加1, 保留末位为偶数, 不变 3.21550— 3.216 6.37850l—6.379 7.691499—7.691 测量误差的有效位数:修约原则------只入不舍 相对不确定度-----两位,如E=0.0010023修约为0.11% 绝对不确定度-----一位,当为1或9时,可以保留两位。 如:0.00123写为0.0013,0.0962写为0.10。 47 3. 有效数字运算: 规则: 准确数字与准确数字的运算结果仍为准确数字, 准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运 算结果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。 如 674.6-21.3542 的 结 果 取 (1)加减法— 为653.2 结果的非准确位与参与运算的所有数字中非准确位数 值最大者相同 如23.4*26的结果取为 (2)乘除法— 6.1*102 结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最 少的相同 如23.42的结果取 (3)乘方开方— 为548 结果的位数与相应的底数的位数相同 48 (4)对数— 如 ln23.4的结果取为3.15 结果的位数与线)三角函数 角度误差 选择位数 10 ” 1” 5 6 0.1 ” 7 0.01 ” 8 如sin(16O25’12’’)的结果 取为0.282676 以上方法对少量数据运算可用, 运算过程中可多保留位 数。对大量数据用统计方法处理. 49 4. 测量最终结果的有效数字: ??N ? ?? ? N ? ? N ?单位? E ? ? N ?100 % N 结果的标准不确定度求出并修约后,测量量结果的最 后位与标准不确定度对齐,测量量结果按四舍五入的原则 修约。 如由公式求得的杨氏模量 Y=2.18264×1011(kg/m2), 求得标准不确定度为 σY=0.0231864×1011(kg/m2)。 则根据上述规则,最终结果为 Y=(2.18±0.03)×1011(kg/m2) E=1.4% 50 五、举例: (1)加减法—求N=X+Y+Z,其中X=(98.7±0.3)cm,Y=(6.238±0.006)cm, Z=(14.36±0.08)cm 解: N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36= 119.298 (cm) ?N ? ? 2 X ? ? 2 Y ? ? 2 Z ? 0.32 ? 0.0062 ? 0.082 ? 0.31 ? 0.4 所以 N=(119.3 ± 0.4) (cm) (2)乘除法— 求立方体体积V,其中L=(22.455±0.002)mm,H=(90.35±0.03)mm, B=(279.68±0.05)mm V ? LHB ? 22.455? 90.35? 279.68 ? 567417.37104mm3 ?Vv ?? ????B??HVL????2?2?L2L2???L??? H??VB?2????2 ?B2 ?2 B ??L???B???HV2????H22 ? 2 =219.866 H mm3 所以 V=(5674±3)*102 mm3 51 (3)指数— 求ex,已知 x=7.85±0.05 ex ? e7.85 ? 2.566?103 d (ex ) / dx ? ex ?(ex ) ? ex ? ?x ? e7.85 ? 0.05 ? 0.13 ?103 故 ex =(2.57±0.13)×103 (4)三角函数--- 已知x = 38°24’±1’,求sinx sin38°24’= 0.62114778 d(sin x) / dx ? cosx ?(sin x) ? cosx ? ?x ? cos38?24? ? ? 1 ? 0.0003 180 60 所以 sin38°24’= 0.6211 ±0.0003 52 (5)对数---- 已知x = 65.48,求lnx lnx = ln65.48= 4.18174475 d(lnx)/dx=1/x --? Δ(1nx) =Δx/x= 0.1/65.48=0.002 所以 lnx = 4.182 ±0.002 必须指出,测量结果的有效数字位数取决于测量,而 不取决于运算过程。因此在运算时,尤其是使用计算 器时,不要随意扩大或减少有效数字位数,更不要认 为算出结果的位数越多越好。 53 六、数据处理 实验的数据处理不单纯是数学运算,而是要以一定 的物理模型为基础,以一定的物理条件为依据,通过对 数据的整理、分析和归纳计算,得出明确的实验结论。 1 列表法---- 记录数据时,把数据列成表格 要求(1)表格设计合理; (2)标题栏中写明各物理量的符号和单位; (3)表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字; (4)实验室给出的数据或查得的单项数据应列在表格 的上部 如: r =2.50cm , h = cm m (g) t1 (s) t2 (s) t3 (s) … … 5.00 10.00 15.00 54 六、数据处理 2 图示法----将数据之间的关系或其变化情况用图线直 观地表示出来 优点:物理量之间的变化规律; 内插法求值; 外推法求值。 缺点:三个及其以上的变量不适用; 绘图时易引入人为误差。 作图步骤 : ⑴ 选用合适的坐标纸 ⑵ 坐标轴的比例与标度 a. 用粗实线描出坐标轴(箭头),横轴代表自变量,纵轴 代表因变量,标明物理量名称(或符号)及单位。 55 六、数据处理 b. 原则上,坐标中的最小格对应测量值可靠数字的 最后一位,可根据情况选择这一位的“1”、“2” 或“5”倍 c. 坐标轴的起点不一定从零开始,标度用整数,不 用测量值。 ⑶ 标实验点 a. 以“+”、“×”、 “⊕”、 “⊙”等符号标 出实验点,测量数据落在所标符号的中心,大 小适中。禁止用“ · ” b. 一条实验曲线用同一种符号。 ⑷ 连图线(拟合线) a. 把点连成直线或光滑曲线;不要无限延长 b. 要求数据点均匀地分布在图线) 注解说明 a. 图形的意义、数据来源、所用公式等 b. 图线的名称、实验日期、实验者等 图解法--求直线的斜率和截距 (y=a+bx ) 在图线上测量范围内靠近两端取两相距较远的点, 如P1(x1,y1)和P2(x2,y2)(不同于实验点),用不同于 实验点的符号表明 斜率b ? y2 ? y1 x2 ? x1 截距a ? y1 ? y2 x2 ? ? y1 x1 x1 或三点法 a ? y3 ? y2 x2 ? ? y1 x1 x3 57 图示法举例 在刚体转动实验中,当保持塔轮半径r不变的情况下,悬 挂砝码质量m与下落时间t的关系为 m与1/t2成线; 1 gr ? K1 1 t2 ? C1 测出一组m ~1/t2值,作出它们关系曲线 (s) t3 (s) t (s) 1 t 2 (×10-3 s-2) 5.00 16.02 15.60 15.42 15.68 4.07 10.00 10.62 10.81 10.23 10.55 8.98 15.00 8.40 8.47 8.31 8.39 20.00 6.92 7.02 6.92 6.95 14.19 20.68 25.00 6.12 6.32 6.15 6.19 30.00 5.74 5.64 5.73 5.70 26.04 30.74 35.00 5.14 5.28 5.16 5.19 37.08 其中 r = 2.50 cm h = 89.50 cm 58 O 作图: 选坐标纸; 坐标轴的比例与标度; O 标实验点; 连图线 求直线的斜率和截距 在图线上测量范围内靠近两端任取两相距较远的点,如 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)(不同于实验点),用不同于实验点的 符号标明 P1(x1, y1)=(5.00×10-3, 6.02), P2 (x2, y2)=(36.00×10-3, 34.30) k1 ? y2 x2 ? y1 ? x1 ? 34.30 ? 6.02 (36.00 ? 5.00) ?10 ?3 ? 9.123 ?102 (g ? s2 ) C1=1.65(g) (延长与Y 轴交点;由P1,P2的坐标值;取第三点。) 60 3 逐差法 ---- 充分利用测量数据减小测量误差 两个条件: ⑴ 函数具有y=a+bx的线性关系(或代换后是线性) ⑵自变量x是等间距变化的,测量次数为偶数 如: 杨氏模量, 等 61 4 线性回归(方程法) 根据实验数据用函数解析形式求出经验公式,既无人 为因素影响,也更为明确和快捷,这个过程称为回归分 析 a. 函数关系已经确定,但式中的系数是未知的,利 用测量的n对(xi,yi)值,确定系数的最佳估计值。 b. 第二类问题是y和x之间的函数关系未知,需要从 n对(xi,yi)测量数据中寻找出它们之间的函数关 系式。 只讨论第一类问题中的最简单的函数关系,即一元线 性方程的回归问题(或称直线 一元线性回归 若已知函数的形式(最佳经验)为 y=a+bx 实验测得数据(xi,yi’ ), i=1,2,…,n 由 n 对(xi,yi’ )求a,b 对应于每一个x值, 观测值 y′和最佳经验公式的 y 值之间存在一个偏差Δy 其中 Δy = y’- y = y’-( a + bx) 使 ∑(Δyi)2 最小---最小二乘法 (P7) 63 ? 1 n x ? n i?1 xi a ? y ? bx b ? x ? y ? xy x2 ? x2 其中: 相关系数来判断回归分析的合理性 ? y ? 1 n n i ?1 yi ? xy ? 1 n n i ?1 xi yi ? x 2 ? 1 n n i ?1 xi2 n ?? xy ? x ? y ? (xi ? x)(yi ? y) ? i ?1 (x2 ? x2)(y2 ? y2) n n ? ? (xi ? x)2 ( yi ? y)2 i ?1 i ?1 γ - 1, 线性回归是合理的; γ - 0, 不宜用线 用X射线检查合金铸件,透视电压U与铸件的厚度x的 数据如表,求U—x的经验公式,并作相关性检验。 Xi(mm) 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 18.0 20.0 22.0 24.0 26.0 Ui(kV) 52.0 55.0 58.0 61.0 70.0 65.0 75.0 80.0 85.0 91.0 解: 观察可见,表中x与U呈现比较显著的线性关系,设U=a+bx (1)计算平均值 ? ? x ?1 10 10 i ?1 xi ? 18.0mm 1 10 U ? 10 Ui i ?1 ? 69.2mm ? xU ?1 10 10 i?1 xiUi ? 1 10 ( x1 ?U1 ? x2 ?U 2 ? ? ? ? ? x10 ?U10 ) ? 1303.2mm? kV ? x 2 ?1 10 10 i ?1 xi2 ? 345 mm 2 65 (2)回归系数 b ? x ?U ? xU ? 2.74kV / mm x2 ? x2 a ? y ? bx ? 1.98kV (3)相关性检验 ?? xU ? x ?U (x2 ? x 2 )(U 2 ?U 2 ) ? 0.999 ? U 2 ?1 10 10 U 2 i i ?1 ? 4947 (kV)2 可见,U与x的线 曲线改直 对非线性关系变量进行变量代换,使新变量成为线性关系, 可以用线性回归、图解法、逐差法来处理。 y=a/x, 令z=1/x, 则y=az Y=aex+b, 令ex=Z , 则y=az+b y=ae bx, lny=lna+bx 令lny=y’,lna=a0,y’=a0+bx T ? 2? m ? m0 k T2 ? 4? k 2 m ? 4? k 2 m0 ? am ? b T2 看做一个变量y,则y(即T2)与m成线


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